https://blog.425763.xyz/zh-cn/categories/mathematics/ Recent content in Mathematics on Digital garden Hugo zh-cn Tue, 23 Dec 2025 17:52:38 -0500 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/fft-operator/ Sun, 18 Aug 2024 10:00:08 +0800 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/fft-operator/ 背景 在信号处理或图像重建中，我们常用 傅里叶变换 来分析信号的频率特性。傅里叶变换其实是一个 线性算子（线性变换），因此它可以写成一个矩阵与向量相 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/power-density-spectrum-psd/ Sun, 18 Aug 2024 10:00:08 +0800 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/power-density-spectrum-psd/ 在看文章Analytical Resolution and Noise Characteristics of Linearly Reconstructed Magnetic Resonance Data with Arbitrary k-Space Sampling的时候，我不是很明白方程27，为什么低通滤波之后噪声的方差改变了。原来 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/proximal/ Sun, 18 Aug 2024 10:00:08 +0800 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/proximal/ MRI 重建中的近端算子（Proximal Operator）笔记总结 1. 基本 MRI 成像模型 MRI 的前向模型： 1 2 y = A x + noise A = F S 其中： x：待重建图像 S： https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/adjoint/ Sun, 18 Aug 2024 10:00:08 +0800 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/adjoint/ 一、伴随算子的定义 对于任意向量（或函数）$x$ 和 $y$，伴随算子 $F^H$ 满足： $$\langle F x,\;y\rangle \;=\;\langle x,\;F^H y\rangle$$ 其中离散内积定义为 $$\langle u,v\rangle = \sum_n u_n^*\,v_n.$$ 二、推导伴随算子的一般步骤 展 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/coil-compression-svd-pca/ Sun, 18 Aug 2024 10:00:08 +0800 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/coil-compression-svd-pca/ 0. Take-home message 通道压缩的过程是把原来的N个物理通道的数据，通过线性组合，变成N_c个虚拟通道的数据，我们希望在这个过程中，信息的损失尽可能小。这个线 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/coil_combine-snr_optimization_proof/ Sun, 18 Aug 2024 10:00:08 +0800 https://blog.425763.xyz/zh-cn/post/coil_combine-snr_optimization_proof/ 问题建模 信号模型 假设我们有N个接收线圈，在空间位置(x,y)处： 真实组织信号：$\rho(x,y)$（复数） 第i个线圈的敏感性：$C_i(x