一、伴随算子的定义

  • 对于任意向量（或函数）$x$ 和 $y$，伴随算子 $F^H$ 满足：
$$\langle F x,\;y\rangle \;=\;\langle x,\;F^H y\rangle$$
  • 其中离散内积定义为
$$\langle u,v\rangle = \sum_n u_n^*\,v_n.$$

二、推导伴随算子的一般步骤

  1. 展开未知量 将所有未知量（或函数）合并成一个大向量 $x$。

  2. 写出前向算子 把 forward operator 写成矩阵（或算子）$F$ 乘以 $x$：

$$y = F x.$$

  1. 计算内积 $\langle F x, y\rangle$ 把 $F x$ 展开，用和式或积分表示。

  2. 重排并提取 在和式／积分里对 $x$ 做“提取”，把它放到内积的第一分量：

$$\langle F x, y\rangle = \langle x,\,\dots\rangle.$$
  1. 识别伴随算子 “$\dots$” 就是 $F^H y$。

三、矩阵情形示例

  • 对于矩阵 $A$，内积是离散和，则
$$\langle A x,\,y\rangle = \sum_i (A x)_i^*\,y_i = \sum_{j} x_j^* \Bigl(\sum_i A_{ij}^*\,y_i\Bigr) = \langle x,\,A^H y\rangle.$$
  • 因此，$A^H$ 就是 复共轭转置。

四、合成算子示例

Forward：

$$y = A_1\,I_w + A_2\,I_f$$

合并未知量：

$$x = \begin{bmatrix}I_w\\I_f\end{bmatrix}, \quad F = [\,A_1\;\;A_2\,], \quad y = F x$$

推导伴随：

$$\begin{aligned} \langle F x, y\rangle &= \langle A_1 I_w + A_2 I_f,\;y\rangle \\ &= \langle I_w,\;A_1^H y\rangle + \langle I_f,\;A_2^H y\rangle \\ &= \bigl\langle x,\;\begin{bmatrix}A_1^H y\\ A_2^H y\end{bmatrix}\bigr\rangle. \end{aligned}$$

所以

$$F^H y = \begin{bmatrix}A_1^H y\\ A_2^H y\end{bmatrix}.$$

五、实用心法

  • 记住定义：伴随算子就是把 $F$ 从“左边”移到内积的“右边”，并做转置/共轭。
  • 对算子逐项处理：矩阵、卷积、微分等，按照同样的方式，从内积角度推导。
  • 检查方程数：伴随算子往往比逆算子简单，且不要求可逆，只要求满足内积关系。

Tip: > – 先在纸上写出 $\langle F x,y\rangle$ 的具体表达式，逐步对 $x$ 做提取；
– 伴随算子往往带有转置、共轭、卷积核反转、微分符号翻转等操作。