MRI 重建中的近端算子（Proximal Operator）笔记总结

1. 基本 MRI 成像模型

MRI 的前向模型：

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y = A x + noise
A = F S

其中：

• x：待重建图像
• S：coil sensitivity
• F：傅里叶采样（通常是欠采样）
• y：采集到的 k-space 数据

2. 仅使用数据一致性的问题

不加任何先验时，最自然的重建是：

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min_x  1/2 * || A x - y ||_2^2

特点：

• 只关心拟合 k-space
• 光滑、可微
• 可以直接用 CG / LSQR

问题：

• 欠采样时不适定
• 噪声会被严重放大
• 解不稳定、不像 MRI 图像

3. 为什么要引入正则项（先验）

MRI 重建的核心目标其实是：

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“既要符合测量数据，
 又要长得像一张 MRI 图像”

于是引入正则化：

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min_x  1/2 * || A x - y ||_2^2  +  λ f(x)

重要区分：

• ||A x - y||^2 ：数据一致性（物理模型）
• f(x) ：先验 / 正则项（图像结构）
• f(x) 不是 A x - y

4. 常见的正则项 f(x)

f(x) 用来表达“什么是好图像”：

• Wavelet 稀疏： f(x) = || W x ||_1
• Total Variation： f(x) = || ∇x ||_1
• 低秩 / LLR： f(x) = || X ||_*
• 稀疏 + 低秩等组合

特点：

• 通常不可微
• 不能直接用 CG 求解

5. 近端思想出现的动机

目标函数中有两种“力量”：

1. 数据一致性：拟合 k-space
2. 正则先验：强制图像结构

它们难以一次性同时处理，于是采用 分而治之 的思想：

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一步管数据
一步管先验

6. 什么是近端算子（prox）

假设现在有一个中间解 v（来自上一轮或数据一致性步）

定义近端算子：

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prox_{λ f}(v)
= argmin_x [ λ f(x) + 1/2 * || x - v ||_2^2 ]

含义（人话）：

• 不要离 v 太远
• 同时尽量满足先验 f(x)

关键点：

• f(x)：正则项（不是数据项）
• v：当前解 / anchor / 中间变量

7. 为什么公式里一定要有 v

如果没有 ||x - v||^2：

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min_x f(x)

那结果是：

• 一个“完美先验”
• 完全无视数据
• 和 MRI 测量无关

v 的作用：

• 把正则“钉”在当前解附近
• 防止先验把解拉飞

8. 典型算法结构（以 Prox-Gradient 为例）

整体问题：

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min_x  1/2 * || A x - y ||^2 + λ f(x)

迭代分两步：

Step 1：数据一致性步（可用 CG）

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v^{k+1} = x^k - τ * A^H (A x^k - y)

含义：

• 朝着更好拟合 k-space 的方向走一步

Step 2：先验修正步（prox）

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x^{k+1} = prox_{τ λ f}( v^{k+1} )

含义：

• 在不破坏数据拟合的前提下
• 让图像更符合先验结构

9. 在 MRI 里的直观理解

可以把重建过程理解成反复做：

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“先听仪器（数据）
 再听经验（先验）”

prox 就是：

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“温和地施加先验，而不是强行投影”

10. 关键对应关系速查表

11. 一句话终极总结

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MRI 重建 = 数据一致性 + 先验约束

近端算子 = 在不偏离当前解的前提下，
           强制结果满足你想要的先验结构