1. 两种分辨率判据

1.1 瑞利判据 (Rayleigh Criterion)

定义：这是最初用于光学显微镜的判据。当一个PSF的峰值正好落在另一个PSF的第一个零点（或极小值）上时，这两个点源被认为是"恰好可分辨"的。

特点：

  • 判据非常严格
  • 主要用于描述理想的PSF（如sinc函数或艾里斑）
  • 对于由矩形k空间窗口产生的sinc函数PSF，其第一零点位置与矩形窗口宽度W（即k空间覆盖范围）成反比
  • 分辨率 ≈ 1/W

1.2 半峰全宽判据 (FWHM Criterion)

定义：这是一个更通用、更常用的判据。当两个相同PSF的距离等于它们各自的半峰全宽 (Full Width at Half Maximum) 时，它们被认为是"可分辨"的。

什么是FWHM？

  • 它是PSF强度从峰值下降到一半时，曲线的宽度
  • 不依赖于"零点"是否存在（很多PSF没有严格的零点）

优势：

  • 更通用，适用于各种PSF形状
  • 在实际MRI中更常用，因为我们经常使用各种窗函数来平滑k空间
  • 最小可分辨距离 = PSF的FWHM
  • FWHM越小，分辨率越高

1.3 小结

FWHM不是零点，瑞利判据和FWHM判据是定义分辨率的两种不同方式。在实际MRI中，使用FWHM来定义和比较分辨率是更常见、更稳健的做法。

2. PSF主瓣宽度与k空间的关系

2.1 傅里叶变换的尺度特性

基本原理：如果一个函数 g(t) 的傅里叶变换是 G(f)，那么将时域函数"压缩"a倍，即g(at)，其傅里叶变换会"展宽"a倍，即(1/|a|)G(f/a)。

2.2 在MRI中的应用

  • k空间加权函数：可以看作是时域函数 g(t)（比如一个矩形窗或高斯窗）
  • PSF：是这个k空间加权函数的傅里叶变换，可以看作是频域函数 G(f)

关系：

  • 如果我们想让PSF更窄（提高分辨率），就必须采集更宽的k空间范围
  • 如果我们只采集了很窄的k空间范围，那么得到的PSF必然很宽，分辨率就低

2.3 定量结论

PSF的主瓣宽度（无论是用FWHM还是其他方式衡量）与k空间的覆盖范围成严格的反比关系。 这是傅里叶变换的内在数学属性。

3. 旁瓣对伪影的定量影响

3.1 卷积的数学定义

重建过程可以表示为：

$$Image_{reconstructed}(x) = \int Image_{true}(u) \cdot PSF(x-u) du$$

这个积分告诉我们，重建图像在某一点 x 的值，是整个真实物体 所有点的值与一个以x为中心反转的PSF 进行加权求和的结果。

3.2 定量分析实例：尖锐边缘

假设场景：真实物体是一个理想的阶跃函数（代表从暗到亮的尖锐边缘）

  • 在 u < 0 的区域：Image_true(u) = 0
  • 在 u > 0 的区域：Image_true(u) = 1

计算边缘左侧暗区一点 x = -d (d>0) 的值：

$$Image_{reconstructed}(-d) = ∫₀^∞ 1 · PSF(-d-u) du = ∫₀^∞ PSF(-d-u) du$$

这个积分计算的是整个PSF在-d点左侧的所有部分的面积。

3.3 旁瓣的定量影响

情况1：PSF只有主瓣，没有旁瓣

  • 当 d 稍微大一点，使得整个主瓣都在-d的右侧时，积分值为0
  • 在暗区就是纯粹的暗，没有伪影

情况2：PSF有旁瓣

  • PSF的旁瓣会像"裙摆"一样延伸很远
  • 即使 d 很大，-d 点已经离边缘很远了，但PSF的左侧旁瓣仍然会落入积分区间内
  • 积分值不为零！

3.4 定量结论

在一个尖锐边缘的暗区，重建图像的像素值等于亮区信号（强度为1）与PSF相应位置旁瓣的积分值的乘积。

伪影强度的定量关系：

  • 旁瓣越高，积分值就越大，暗区就越"不暗"，形成"鬼影"
  • PSF旁瓣的正负交替，导致在边缘两侧出现一系列明暗交替的"振铃"
  • 振铃的强度，直接与PSF旁瓣的幅度和面积相关

3.5 实际应用

矩形窗的问题：

  • k空间直接截断会产生最严重的伪影
  • 其傅里叶变换（sinc函数）的第一个旁瓣高度达到主瓣的约21%
  • 后续旁瓣衰减非常慢

窗函数的优势：

  • 汉宁窗 (Hann window) 等平滑窗函数
  • 其傅里叶变换的旁瓣能量极低
  • 能极大地抑制振铃伪影

总结

  1. 分辨率判据：FWHM判据比瑞利判据更通用，在实际MRI中更常用
  2. 主瓣宽度：PSF主瓣宽度与k空间覆盖范围成反比关系
  3. 旁瓣伪影：旁瓣的幅度和面积直接决定了伪影的强度，可以通过窗函数来抑制